Harmonics (배음)

정의

설명

원리

1. 주기적 신호는 반복성(Periodicity)을 가지며, 이 반복 주기 T가 존재하는 순간 기본주파수 f0 = 1/T가 정의된다.

2. 어떤 주기 신호도 Fourier Series로 전개할 수 있으며, 그 전개 결과가 바로 기본주파수 f0과 정수배 주파수 n·f0로 이루어진 Harmonic 구조다.

3. Harmonics는 신호의 음색, 공진, 파형의 모양을 결정하는 근본 요소이며, 기본주파수보다 훨씬 강하거나 약할 수 있다.

5. Harmonics는 정수배라는 점에서
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   Overtone (상음)과 구분되며, 배음은 기본 주파수를 제외한 모든 상위 주파수로 구성되지만 항상 정수배는 아니다.

6. 전기 신호나 기계 진동에서는 Harmonics가 시스템의 왜곡, 리플, 공진 문제를 유발하기 때문에 제어, 필터링의 중심 지표가 된다.

구조

기본 정의

fn = n · f0

Fourier 급수 전개

x(t) = Σ [ an · cos(2πn f0 t) + bn · sin(2πn f0 t) ]

Overtones 관계

Overtone_k = f_{k+1} = (k+1) · f0

파형에 따른 Harmonic 특성

Square Wave: fn = (2n−1) · f0
Triangle Wave: fn = (2n−1) · f0, amplitude ∝ 1/(2n−1)²
Sawtooth Wave: fn = n · f0, amplitude ∝ 1/n

예시

음악, 악기

• 바이올린, 첼로, 기타 같은 현악기는 기본 주파수 위에 강한 2 - 6배 Harmonics가 풍부해 따뜻한 음색을 만든다.

• 금관악기 (트럼펫, 트럼본)는 높은 차수의 Harmonics가 강하여 밝고 직진성이 큰 특성이 나타난다.

• 피아노의 타현 구조는
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  Inharmonics (비배음)가 존재하지만 여전히 Harmonic 근사로 분석이 가능하다.

인간 음성

• 성대의 기본 진동이 f0을 만들고, 구강, 비강의 공진 구조가 특정 Harmonics를 강화하여 음색이 형성된다.

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  Formant는 Harmonics가 아닌 공명 대역이지만, Harmonics가 그 대역을 통과하면서 강한 음색 특성을 준다.

기계 진동, 공학

• 모터, 회전축, 베어링 고장 진단에서 Harmonics 분석은 이상 진동을 탐지하는 핵심 지표다.

• 터빈과 엔진의 회전체는 회전 속도의 정수배에서 강한 Harmonic 패턴을 보인다.

전력, 전자 시스템

• 비선형 회로에서 발생하는 왜곡은 정수배 Harmonics로 나타나고,
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  Total Harmonic Distortion - THD으로 측정된다.

• 송전 시스템에서는 고조파(Harmonics)가 전력 품질 저하를 일으키기 때문에 필터링과 보상이 필요하다.

신호처리